Co to jest matematyka?

Descartes zamyślił się. Po długiej chwili namysłu powiedział:

—           W chwilach wolnych lubiłem ćwiczyć swój umysł matematyką. Kiedy w roku 1619 byłem z wojskiem Ferdynanda II pod Pragą, miałem dużo wolnego czasu: — była zima, działania wojenne były zawieszone. Porównywałem tajemnicę przyrody z prawami matematyki. Byłem i jestem przekonany, że ten sam klucz otwiera sens i jednego i drugiego. Owocem tych moich rozmyślań było odkrycie podstaw wspaniałej nauki*). Gdy skrupulatnie wszystko zważyłem, przyszedłem do przekonania, że wszystkie nauki, które mają do czynienia z poznaniem porządku i miary należą do matematyki, bez względu na to, czy tej miary one szukają w liczbach, figurach, konstelacjach, dźwiękach, czy innych obiektach. Dlatego musi być uniwersalna nauka, opracowująca wszystko co dotyczy miary i porządku, zupełnie niezależnie od tego czy innego zastosowania. Ta nauka jest najbardziej godna, aby jej nadać uświęcone wiekami miano — matematyki ponieważ wszystkie inne nauki mają się do niej tak, jak część do całości. Matematyka to swoista metoda badania.

 

Miotałem się na przestrzeni XVII i XVIII stuleci tak wybitnie płodnych w odkrycia matematyczne; interviewowalem filozofów i matematyków — materialistę Hobbes‘a; metafizyka-matematyka-współ-odkrywcę rachunku nieskończenie małych — Leibniza; wspaniałego matematyka – fizyka — Eulera. Nie mówię już o drugim współodkrywcy rachunku różniczkowego, autorze epokowych dzieł: „Principia mathematica…“ i „Arithmetica Universalis“ o genialnym Newtonie, — otrzymałem prawie jednobrzmiące odpowiedzi:

—           Matematyka, to nauka o mierzeniu wielkości (Newton, Euler).

—           Matematyka, to nauka o pośrednim mierzeniu wielkości (Hobbes).

—           Matematyka, to nauka o funkcjach (Leibniz).

Terminu „funkcja“ Leibniz użył po raz pierwszy w swoim liście do Huyghensa w roku 1694. W rozumieniu Leibniza termin ten wyrażał pojęcie zmienności jednej wielkości w zależności od drugiej określonej pewnym prawem (wzorem). Ten termin z lekkiej ręki matematyka Jana Bernoullego z początkiem XVIII stulecia szybko wszedł do leksykonu matematycznego. Jednak samo pojęcie funkcji wkrótce otrzymało inną treść. Lejeune Diri-chlet, uczeń znakomitego Gaussa, podał taką definicję funkcji: „Y nazywa się funkcją X, jeśli każde) wartości X jest przyporządkowana wartość Y“.

Wiek XIX—to epoka ugruntowywania teoretycznych podstaw matematyki i odkryć całego szeregu nowych „rachunków“ i „teoryj“. Po rachunkach różniczkowym i całkowym, przyszedł rachunek wariacyjny, który rozpatruje zmianę Y nie tylko od zmian X ale i od zmiany samej budowy zależności Y=f (x). Zjawiają się: teoria funkcyj zmiennej zespolonej, teoria mnogości, teoria wektorów itd.; geometrie nie-Euklidesowe (Łobaczewskiego, Bolyai…) Niesłychany rozrost matematyki w głąb i w wszerz powiększył ilość przedmiotów matematycznych z trzech do dwudziestu ośmiu. W naszych czasach nie do pomyślenia jest człowiek, któryby mógł ogarnąć chociażby jakiś jeden odłam matematyki. Ten niezwykły rozrost matematyki i rygorystyczne pod względem logiki opracowanie jej podstaw, zmienił także pogląd na jej istotę.

Aby zakończyć serię wywiadów udałem się do jednego z naszych wybitnych profesorów, interesującego się ogólnymi zagadnieniami matematyki i poprosiłem go o wywiad.

—           Profesorze, chciałbym otrzymać odpowiedź na pytanie: „Co to jest matematyka?“

—           Najłatwiej można byłoby odpowiedzieć na to pytanie, gdybyśmy wiedzieli co jest jej przedmiotem. Dziś wiemy, że jej przedmiotem nie zawsze jest liczba. Zresztą pojęcie liczby jest stale zmienne i w czasach o-becnych liczba już nie ma tych cech, które przyzwyczailiśmy się jej nadawać. Zdefiniowanie matematyki jako nauki formalnej, dotyczącej pewnych symboli, także się nie nadaje, bo na przykład gic w szachy może być również ujęta w symbole a matematyką nie jest.

Do istoty matematyki chyba najbardziej zbliżył się Euklides w swoim epokowym dziele „Stoicheia“ (elementy), który podzieli^ zdania na pewniki (aksióma-ta), postulaty (aitema-ta); definicję (oroi); teorematy; zagadnienia oKiemata) i twierdzenia pomocnicze (lemmata). Z niewielkiej ilości pewników, zdań pierwotnych i postulatów Euklides zbudował całą współczesną sobie matematykę, podając ją w formie geometrycznej. W taki sposób zbliżamy się do współczesnego nam pojmowania istoty matematyki. Tkwi ona nie w liczbach i nie w figurach i nie w symbolach, lecz w metodzie. Metoda jej nazywa śię dedukcyjną a polega na wysnuwaniu logicznych wniosków wyłącznie tylko z uwidocznionych na wstępie danej teorii pewników, definicyj i zdań pierwotnych.

Zatrzymam się na tej sprawie jeszcze na chwilę bo chcę, aby Czytelnik dokładnie mnie zrozumiał.

Otóż Euklides podaje najpierw, pewien zasób pojęć pierwotnych, takich, jak „punkt“, „prosta?*, „kąt”; „kąt prosty”, „trójkąt”, „czworokąt“. Później podaje pewien zasób pierwotnych twierdzeń, np. „przez dwa punkty można poprowadzić tylko jedną linię prostą”; „dwie linie proste przecinają się w jednym punkcie”; „płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwie części, z których jedna jest pod nią, a druga nad nią” itd. Z tego zasobu pojęć pierwotnych Euklides tworzy pojęcia wtórne, które są pewną kombinacją pierwotnych. Np. z zasobu takich pojęć pierwotnych jak „czworokąt“, „bok“, „kąt prosty“, „równy” Euklieds               wyprowadza pojęcie „kwadrat” jako zastępnik następującej kombinacji tych pojęć:     „czworokąt o równych bokach i kątach prostych“. Pojęcia wtórne są mu potrzebne, aby mógł zbudować twierdzenia wtórne, które są zastępnikami pewnej kombinacji twierdzeń pierwotnych, wynikają z nich jako z przesłanek.   W taki   sposób Euklides tworzy coraz to nowe i bardziej złożone pojęcia wtórne a przy ich pomocy wysnuwa dalsze nowe twierdzenia, które są wnioskami poprzednich.

Leave a Comment

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *