Co to jest czwarty wymiar?

Można sztucznie stworzyć pewien model, dający wyobrażenie „świata zamykającego się w sobie“. Przykładem takim niech będzie powierzchnia, która nosi nazwę „liścia“ albo „wstęgi“ Mobiusa. Bardzo prosty jej model można otrzymać, wycinając pasek pa­pieru i sklejając jego końce, po uprzednim  skręceniu ich o 180°. Dla intuicyjnego wy­obrażenia najlepiej jest nie zadowalając się rysunkiem, obejrzeć gotowy model, który można sporządzić „na poczekaniu“.

Otrzymana powierzchnia jest tym ciekawą i różniąca się od innych, że posiada tylko jed­ną stronę. Jeżeli wyjść z jakiegoś jej punktu i wędrować, nie przekraczając brzegu, to po obejściu całej powierzchni, wraca się do pun­ktu wyjścia — przy tym nie istnieje strona, której by się nie obeszło. Najlepiej jest, wychodząc z jakiegoś punktu, rysować ołów­kiem linię, która po obejściu całej powierz­chni zamknie się w punkcie wyjścia. W przy­padku pierścienia, sklejonego „normalnie“, linia „marszu“ też wprawdzie zamknie się, ale będzie obejmować tylko jedną stronę po­wierzchni, czyli jakbyśmy powiedzieli, nie obejmie „całego“ świata.

Powierzchnia Ziemi daje się całkowicie zamknąć w sześcianie, kostce trójwymiaro­wej, o odpowiednio wielkiej krawędzi. Podob­nie wszechświat dałby się zamknąć w „nadsześcianie“ — kostce czterowymiarowej, tak­że o odpowiednio dużej „krawędzi“. O powie­rzchni Ziemi można by powiedzieć, że jest tworem dwuwymiarowym, „zanurzonym“ w przestrzeni trójwymiarowej, natomiast o przestrzeni wszechświata można powie­dzieć, że jest tworem trójwymiarowym, „zanurzonym“ w przestrzeni czterowymia­rowej.

Pewne „sztuczne“ próby geometrycznych wyobrażeń omawianych tu zjawisk można by stworzyć. Najpierw spróbujmy wyobra­zić sobie jakby to zrobili „płaszczakowie“. Dla wszystkich kół, nie przekraczających ko­ła granicznego (równika), mierzyli oni pro­mienie kół po powierzchni Ziemi od zamku „Rex“ i otrzymywali obserwacje zgodne z ro­zumowaniem. Po przekroczeniu koła granicz­nego „korelacja“ ta znikła. Otóż żeby ją od­zyskać, musieliby oni prawdopodobnie „zacząć“ mierzenie promieni kół także wpraw­dzie po powierzchni Ziemi, ale nie „od wew­nątrz“ a od „zewnątrz“ — od zamku „Anti­rex“. Do wniosku tego mogliby oczywiście dojść dopiero po odkryciu istnienia drugiego środka swego państwa. Podobnie „stereoci“, z chwilą osiągnięcia kuli granicznej, powin­ni by zaniechać mierzenia promieni granic swego świata „od wewnątrz“, a przejść do mierzenia promieni kul „większych“ „od zew­nątrz“. To oczywiście staje się możliwe do­piero po stwierdzeniu istnienia drugiego środ­ka wszechświata.

Dla potwierdzenia wykoncypowanego „za­krzywienia“ płaszczyzny mogliby „płaszcza­kowie“ wykonać doświadczenie. Przypuśćmy dla uproszczenia sprawy, że powierzchnia Ziemi nie stawia żadnych oporów, poruszają­cym się na niej ciałom. „Płaszczakowie“ wy­strzeliwują z zamku „Rex“ pocisk w kierun­ku promienia swego państwa (wzdłuż po­łudnika Ziemi). Pocisk, poruszający się po Ziemi ze stałą prędkością, obiega całą Zie­mię i po pewnym, obojętne jak długim cza­sie, wraca do punktu, z którego został wy­strzelony. To doświadczenie umożliwia po­stawienie twierdzenia, że w świecie „płaszczaków“ każda prosta (tor pocisku wyo­brażają „płaszczakowie“ jako prostolinij­ny) zamyka się w koło, czyli prosta jest po prostu kołem tylko o nieskoń­czenie“ dużym promieniu. Z kolei „stereoci“ dla potwierdzenia „zakrzywienia“ przestrze­ni mogą wystrzelić pocisk w przestrzeń. Taki pocisk niech nam wyobraża foton (cząstka świetlna) promienia świetlnego, który jest je­go torem ruchu. „Płaszczakowie“ nie mogą wyobrazić sobie toru swego pocisku inaczej niż toru prostolinijnego, podobnie i „stere­oci“ nie mają podstaw podejrzewać, by in­ny był tor ich światła. Otóż przez analogię rozumowania, po pewnym, obojętne jak dłu­gim czasie, promień świetlny „wystrzelony“ z jakiegoś punktu ich wszechświata, przeby­wając przestrzeń „zakrzywia się“ wraz z nią i wraca do punktu wyjściowego. Doświadczenie to umożliwia nam wyobrażenie wszech­świata jako przestrzeni „zamkniętej“ np. w skórce od pomarańczy. Przy takiej interpre­tacji „zakrzywienie“ przestrzeni jako tako da się „uzmysłowić“ geometrycznie.

Foton (promień światła), wydostając się z granic naszego świata A obiega tę „krzywą’ przestrzeń, jaką jest wszechświat, zamknięty w warstwie skórki, przez pewien długi, choć nie nieskończony przeciąg czasu, nie wcho­dząc cały czas poza jej granice, wreszcie wra­ca do punktu wyjścia z przeciwnego kierun­ku. Foton wypuszczony z oka stojącego człowieka, po obiegnięciu wszechświata, trafiłby po powrocie w potylicę eksperymentatora.

Jak na powierzchni kuli ziemskiej nie da się wykreślić linii prostej dowolnej długoś­ci („zakrzywienie“ powierzchni), tak i w prze­strzeni można by tylko sobie linię prostą wy­imaginować. W obu przypadkach za linię pro­stą należałoby uważać okrąg koła o bardzo dużym, „nieskończenie“ długim promieniu.

Zestawiając dwa opisane światy i analo­gicznie rozmyślając dalej, można by wprowa­dzić pojęcie większej liczby wymiarów niż cztery. Oczywiście miałoby to tylko znaczenie formalne; pojęcia te pozostałyby dla naszego umysłu niewyobrażalne geometrycznie. Ma­tematyk swobodnie umie operować przestrze­nią n — wymiarową, dostosowując do niej znane mu utwory geometryczne przez for­malne przerachowania. Czy utwory te były­by czymś podobnym do istniejących w naszej rzeczywistości trójwymiarowej — trudno po­wiedzieć. Matematyk często mając do czynie­nia z jakimś wyrażeniem matematycznym nie wie, czy ono wyobraża co geometrycznie, czy nie. W ogóle często nie wie, czy ono jest praw­dziwe. Według słów Bertranda Russella ma­tematyka jest nauką, w której nigdy nie wie­my, o czym mówimy, ani też, czy to, co mó­wimy, jest słuszne. Nie pomniejsza to wiel­kości matematyki, nie zajmuje się ona bo­wiem badaniem słuszności założeń.