Co to jest czwarty wymiar cz.2

Ciekawe z kolei byłoby pytanie, częścią jakiej krzywej jest łuk AmB? Metodami ra­chunku elementarnego znaleźć tego nie moż­na. Posługując się jednak matematyką wyż­szą, można ściśle wykazać, że drogą wyma­gającą najmniejszej liczby kroków w danych okolicznościach jest łuk koła, przecinającego graniczną kulę pod kątem prostym (ortogo­nalnie). Czyli możemy powiedzieć, że „naj­krótszą“ linią łączącą punkty A i B nazwie­my w świecie „termitów“ łuk takiego koła, które przechodzi przez punkty A i B i które przecina granice tego świata — kuli pod ką­tem prostym. Oczywiście ciągle pamiętajmy o tym, że będzie to linia „najkrótsza“ dla mieszkańców tego świata, jeśli przy tym bę­dą oni mierzyć „długość“ dróg podobnie jak czynią to ludzie, liczbą kroków. Musimy ciągle wczuwać się w umysłowość „termi­tów“, abstrahując od naszych doświadczeń, nabytych w warunkach ziemskich. Nie cho­dzi tu o to, aby znać ich geometrię, lecz aby myśleć, a właściwie rozumować geometrycz­nie, jak oni. „Not to know geome­try, but to think geometry“ – jak mówi John Wesley Young.

Najciekawsze, że przez każdą parę punk­tów A i B wewnątrz kuli przechodzi jedna i tylko jedna tego rodzaju linia „najkrótsza“. Jeśli bowiem weźmiemy płaski przekrój ku­listego świata, otrzymamy koło. Przez dwa punkty, leżące wewnątrz koła, można popro­wadzić tylko jedno koło ortogonalne do da­nego. Koło to można wykreślić sposobem konstrukcyjnym — stosując metody geometrii elementarnej.

Wracając po tym dziwnym śnie znowu do rzeczywistości, pełni przekonania, że w na­szej przestrzeni prosta jest kołem, a odcinek łukiem, pomyślmy, jak wyglądałaby cała nasza geometria, gdyby ją umieścić w prze­strzeni „zakrzywionej“. Szczególnie powin­ny by nas interesować utwory geometryczne „otwarte“, które swoimi elementami „wy­mykają się“ gdzieś do „nieskończoności“. Ta­kimi są np. znane nam krzywe stożkowe: hi­perbola i parabola. Pierwsza nie wiadomo dlaczego składa się z dwóch gałęzi, a druga z jednej, i obie „nie zamykają się“. Okazuje się, że to rozdwojenie hiperboli i nie zamy­kanie się obu krzywych jest tylko pozorne. Wystarczy zastosować ilustrację analogiczną do tej, jakiej użyliśmy w przypadku prostej, umieszczając je na powierzchni kuli ilustru­jącej przestrzeń „zakrzywioną“ i „zamyka­jącą się w sobie“. Koła poziome i pionowe, przechodzą przez punkt O, niech ilustrują osi układu współrzędnych: koło poziome — oś odciętych, koło pionowe — oś rzędnych.

Obie osi mają oprócz punktu O drugi punkt przecięcia się O1 w „nieskończoności“. Pro­stokąt K L M N niech ilustruje dostrzegal­ny naszymi zmysłami świat rzeczywisty. Hi­perbolę można „uzmysłowić“ sobie jako krzywą, której gałęzie, oddalając się od sie­bie, zaczynają od pewnego momentu „zbliżać się“, krzywa nie może wyjść poza przestrzeń, gdyż ta „zamyka się sama w sobie“. Każda z gałęzi przecina się w „nieskończoności“ z osią rzędnych, gdzie obie gałęzi „łączą się” ze sobą. Poruszając np. po prawej gałęzi mo­żna po długim, choć nie nieskończenie dłu­gim, czasie wrócić, ale już poruszając się po gałęzi lewej.

Parabolę można sobie „przedstawić“ jako krzywą, która jest styczną do osi rzędnych w dwóch punktach O i O*. Oddalające się od siebie ramiona gałęzi krzywej zaczynają od pewnego momentu zbliżać się i ostatecz­nie łączą się. Parabola jest więc także krzy­wą zamkniętą. Poruszając się po jednym ramieniu można po długim, lecz nie nieskończenie długim, czasie wrócić do punktu wyjścia, ale już poruszając się po drugim ramieniu.

Można więc obie te krzywe wyobrazić ja­ko „elipsy“ odpowiednio wyciągnięte i uło­żone w przestrzeni. Elipsa rzeczywista jest krzywą, leżącą całkowicie w przestrzeni re­alnej, uchwytnej wyobraźnią; parabola i hi­perbola są „elipsami“, które w części leżą w „nieskończoności“.

Opisane wyżej, sztucznie i dość fantasty­cznie stworzone, warunki eksperymentu po­zwalają zauważyć, że można zarysować do­tychczasowy gmach naszych spostrzeżeń. Słuszność wniosków jest rzeczą względną, podobnie jak względną jest słuszność zało­żeń, na których budujemy swe rozumowania. Pewne np. prawo fizyczne jest prawdziwe w warunkach nas otaczających i może oka­zać się fałszywe w innym „układzie odnie­sienia“.

Jest pewne, że na wzór świata Poincare’go można by podać szereg innych układów wa­runków, które pozwoliłyby z kolei „obalić” inne poglądy, dotąd zdawałoby się niewzruszone. Zatem „prawdy“ nasze nie są tak bar­dzo pewne, za jakie je powszechnie uważa­my. Zmienianie przekonań, zastępowanie do­tychczasowych nowymi, lepszymi, jest do­wodem postępu, który nie doznaje w swym rozwoju przerwy ani końca.